Question

如圖，有一塊矩形空地，要在這塊空地上辟一個(gè)內(nèi)接四邊形為綠地，使其四個(gè)頂點(diǎn)分別落在矩形的四條邊上，已知AB=a（a＞2），BC=2，且AE=AH=CF=CG，設(shè)AE=x，綠地面積為y．
（1）寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并指出這個(gè)函數(shù)的定義域．
（2）當(dāng)AE為何值時(shí)，綠地面積最大？

Answer 1

分析：（1）先求得四邊形ABCD，△AHE的面積，再分割法求得四邊形EFGH的面積，即建立y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）由（1）知y是關(guān)于x的二次函數(shù)，用二次函數(shù)求最值的方法求解．

解答：解：（1）S_△AEH=S_△CFG=

1

2

x²，（1分）
S_△BEF=S_△DGH=

1

2

（a-x）（2-x）．（2分）
∴y=S_ABCD-2S_△AEH-2S_△BEF=2a-x²-（a-x）（2-x）=-2x²+（a+2）x．（5分）
由

x＞0 a-x＞0 2-x≥0 a＞2

，得0＜x≤2（6分）
∴y=-2x²+（a+2）x，0＜x≤2（7分）
（2）當(dāng)

a+2

4

＜2，即a＜6時(shí)，則x=

a+2

4

時(shí)，y取最大值

(a+2)2

8

．（9分）
當(dāng)

a+2

4

≥2，即a≥6時(shí)，y=-2x²+（a+2）x，在（0，2]上是增函數(shù)，
則x=2時(shí)，y取最大值2a-4（11分）
綜上所述：當(dāng)a＜6時(shí)，AE=

a+2

4

時(shí)，綠地面積取最大值

(a+2)2

8

；
當(dāng)a≥6時(shí)，AE=2時(shí)，綠地面積取最大值2a-4（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查實(shí)際問(wèn)題中的建模和解模能力，注意二次函數(shù)求最值的方法．