Question

【題目】有限數(shù)列同時滿足下列兩個條件：

①對于任意的（），；

②對于任意的（），，，三個數(shù)中至少有一個數(shù)是數(shù)列中的項．[來

（1）若，且，，，，求的值；

（2）證明：不可能是數(shù)列中的項；

（3）求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）的最大值為

【解析】

（1）由①，得．

由②，當，，時．,,中至少有一個是數(shù)列，，，中的項，但，，故，解得．

經(jīng)檢驗，當時，符合題意．

（2）假設是數(shù)列中的項，由②可知：6，10，15中至少有一個是數(shù)列中的項，則有限數(shù)列的最后一項，且．

由①，．

對于數(shù)，由②可知：；對于數(shù)，由②可知：． 6分

所以，這與①矛盾．

所以不可能是數(shù)列中的項．

（3）的最大值為，證明如下：

（1）令，則符合①、②．

（2）設符合①、②，則：

（ⅰ）中至多有三項，其絕對值大于1．

假設中至少有四項，其絕對值大于1，不妨設，，，是中絕對值最大的四項，其中．

則對，，有，，故，均不是數(shù)列中的項，即是數(shù)列中的項．

同理：也是數(shù)列中的項．

但，．

所以．

所以，這與①矛盾．

（ⅱ）中至多有三項，其絕對值大于0且小于1．

假設中至少有四項，其絕對值大于0且小于1，類似（ⅰ）得出矛盾．

（ⅲ）中至多有兩項絕對值等于1．

（ⅳ）中至多有一項等于0．

綜合（ⅰ），（ⅱ），（ⅲ），（ⅳ）可知中至多有9項．

14分

由（1），（2）可得，的最大值為9．