Question

【題目】已知橢圓E：，點(diǎn)A，B分別是橢圓E的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，直線AB與圓C：x2+y2＝c2相離，其中c是橢圓的半焦距，P是直線AB上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為M，N，若存在點(diǎn)P使得△PMN是等腰直角三角形，則橢圓離心率平方e2的取值范圍是_____．

Answer 1

【答案】[，）．

【解析】

根據(jù)直線和圓相離得到a2b2＞c2（a2+b2），根據(jù)等腰三角形得到2e4﹣5e2+1≤0，計(jì)算得到答案.

AB所在直線方程為，即bx﹣ay+ab＝0，

又直線AB與圓C：x2+y2＝c2相離，∴c，

即a2b2＞c2（a2+b2），∴a2（a2﹣c2）＞c2（2a2﹣c2），

整理得：e4﹣3e2+1＞0，解得0＜e2；

又存在點(diǎn)P使得△PMN是等腰直角三角形，

則在Rt△OPN中，OPONc，

∴，即a2b2≤2c2（a2+b2），

∴a2（a2﹣c2）≤2c2（2a2﹣c2），

整理得2e4﹣5e2+1≤0，解得e2＜1．

∴e2的取值范圍是[，）．

故答案為：[，）.