Question

13．某玩具生產(chǎn)公司每天計劃生產(chǎn)衛(wèi)兵、騎兵、傘兵這三種玩具共100個，生產(chǎn)一個衛(wèi)兵需5min，生產(chǎn)一個騎兵需7min，生產(chǎn)一個傘兵需4min，已知總生產(chǎn)時間不超過10h，若生產(chǎn)一個衛(wèi)兵可利潤5元，生產(chǎn)一個騎兵可獲利潤6元，生產(chǎn)一個傘兵可獲利潤3元，怎樣分配生產(chǎn)任務才能使每天的利潤最大，最大利潤是多少？

Answer 1

分析 假設生產(chǎn)衛(wèi)兵x個，生產(chǎn)騎兵y個，則生產(chǎn)傘兵（100-x-y）個，于是利潤為z=5x+6y+3（100-x-y）=2x+3y+300．利用生產(chǎn)時間和生產(chǎn)個數(shù)限制列出約束條件，作出平面區(qū)域，根據(jù)線性規(guī)劃知識求出最優(yōu)解．

解答 解：假設生產(chǎn)衛(wèi)兵x個，生產(chǎn)騎兵y個，則生產(chǎn)傘兵（100-x-y）個．
則$\left\{\begin{array}{l}{5x+7y+4（100-x-y）≤600}\\{0≤x≤100}\\{0≤y≤100}\\{0≤100-x-y≤100}\\{x，y，z∈N}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x+3y≤200}\\{0≤x≤100}\\{0≤y≤100}\\{0≤x+y≤100}\end{array}\right.$．
作出平面區(qū)域如圖所示：

設每天的利潤為z，則z=5x+6y+3（100-x-y）=2x+3y+300．
∴y=-$\frac{2}{3}x$-100+$\frac{z}{3}$．
由平面區(qū)域可知當直線y=-$\frac{2}{3}x$-100+$\frac{z}{3}$經(jīng)過點B時，截距最大，即z最大．
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{x+y=100}\\{x+3y=200}\end{array}\right.$，解得x=y=50．
∴當x=y=50時，z取得最大值2×50+3×50+300=550．
答：每天生產(chǎn)衛(wèi)兵50個，騎兵50個，傘兵0個時，利潤最大，最大利潤為550元．

點評 本題考查了簡單線性規(guī)劃的應用，列出約束條件，得出目標函數(shù)是解題的關鍵，屬于中檔題．