Question

已知曲線C₁：（t為參數(shù)），C₂：（θ為參數(shù)）．
（1）化C₁，C₂的方程為普通方程，并說明它們分別表示什么曲線；
（2）若C₁上的點P對應的參數(shù)為t=，Q為C₂上的動點，求PQ中點M到直線C₁：（t為參數(shù)）距離的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）分別消去兩曲線參數(shù)方程中的參數(shù)得到兩曲線的普通方程，即可得到曲線C₁表示一個圓；曲線C₂表示一個橢圓；
（2）把t的值代入曲線C₁的參數(shù)方程得點P的坐標，然后把直線的參數(shù)方程化為普通方程，根據(jù)曲線C₂的參數(shù)方程設出Q的坐標，利用中點坐標公式表示出M的坐標，利用點到直線的距離公式表示出M到已知直線的距離，利用兩角差的正弦函數(shù)公式化簡后，利用正弦函數(shù)的值域即可得到距離的最小值．
解答：解：（1）把曲線C₁：（t為參數(shù)）化為普通方程得：（x+4）²+（y-3）²=1，
所以此曲線表示的曲線為圓心（-4，3），半徑1的圓；
把C₂：（θ為參數(shù)）化為普通方程得：+=1，所以此曲線方程表述的曲線為中心是坐標原點，焦點在x軸上，長半軸為8，短半軸為3的橢圓；
（2）把t=代入到曲線C₁的參數(shù)方程得：P（-4，4），
把直線C₃：（t為參數(shù)）化為普通方程得：x-2y-7=0，
設Q的坐標為Q（8cosθ，3sinθ），故M（-2+4cosθ，2+sinθ）
所以M到直線的距離d==，（其中sinα=，cosα=）
從而當cosθ=，sinθ=-時，d取得最小值．
點評：此題考查學生理解并運用直線和圓的參數(shù)方程解決數(shù)學問題，靈活運用點到直線的距離公式及中點坐標公式化簡求值，是一道綜合題．