Question

4．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的實(shí)軸長為6，拋物線y²=20x的準(zhǔn)線經(jīng)過雙曲線左焦點(diǎn)，過原點(diǎn)的直線與雙曲線左、右兩支分別交于A，B兩點(diǎn)，P為雙曲線上不同于A，B的任一點(diǎn)，當(dāng)k_PA，k_PB存在時，k_PA•k_PB的值為（　　）

• A． $\frac{16}{9}$
• B． $\frac{4}{3}$
• C． $\frac{9}{16}$
• D． $\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 由題意求出雙曲線方程，設(shè)出A、B、P的坐標(biāo)，把點(diǎn)的縱坐標(biāo)用橫坐標(biāo)表示，寫出直線的斜率，代入整理得答案．

解答 解：由題意知：2a=6，a=3，
∵拋物線y²=20x的準(zhǔn)線方程為x=-5，∴c=5，則b²=c²-a²=25-9=16．
∴雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{16}=1$．
由題意設(shè)A（x₁，y₁），B（-x₁，-y₁），P（x₀，y₀），
則${{y}_{1}}^{2}=\frac{16}{9}（{{x}_{1}}^{2}-9），{{y}_{0}}^{2}=\frac{16}{9}（{{x}_{0}}^{2}-9）$，
∵${k}_{PA}=\frac{{y}_{0}-{y}_{1}}{{x}_{0}-{x}_{1}}，{k}_{PB}=\frac{{y}_{0}+{y}_{1}}{{x}_{0}+{x}_{1}}$，
∴k_PA•k_PB=$\frac{{y}_{0}-{y}_{1}}{{x}_{0}-{x}_{1}}•\frac{{y}_{0}+{y}_{1}}{{x}_{0}+{x}_{1}}=\frac{{{y}_{0}}^{2}-{{y}_{1}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}$=$\frac{\frac{16}{9}（{{x}_{0}}^{2}-9）-\frac{16}{9}（{{x}_{1}}^{2}-9）}{{{x}_{0}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}=\frac{16}{9}$．
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)，考查了設(shè)而不求的解題思想方法，是中檔題．