Question

10．已知函數(shù)f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-cos²x+$\frac{1}{2}$，x∈R．
（1）若?x∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]，f（x）-m=0有兩個不同的根，求m的取值范圍；
（2）已知△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若f（B）=$\frac{1}{2}$，b=2，且sinA、sinB、sinC成等差數(shù)列，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）化簡f（x），問題轉(zhuǎn)化為y=m和y=f（x）在x∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]有2個不同的交點(diǎn)，畫出函數(shù)的圖象，求出m的范圍即可；
（2）求出B的值，根據(jù)正弦定理得到a+c=2b=4，根據(jù)余弦定理得到b²=a²+c²-2accosB=（a+c）²-2ac-$\sqrt{3}$ac，求出ac的值，從而求出三角形的面積即可．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-cos²x+$\frac{1}{2}$，
∴f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1+cos2x}{2}$+$\frac{1}{2}$=sin（2x-$\frac{π}{6}$），
∴f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$），
∵x∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]，∴2x-$\frac{π}{6}$∈[0，$\frac{5π}{6}$]，
若?x∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]，f（x）-m=0有兩個不同的根，
則y=m和y=f（x）在x∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]有2個不同的交點(diǎn)，
畫出函數(shù)的圖象，如圖所示：
，
結(jié)合圖象得$\frac{1}{2}$≤m＜1；
（2）由f（B）=$\frac{1}{2}$，解得：B=$\frac{π}{6}$或B=$\frac{π}{2}$，
由sinA、sinB、sinC成等差數(shù)列，結(jié)合正弦定理得a+c=2b=4，
故B=$\frac{π}{6}$，且b²=a²+c²-2accosB=（a+c）²-2ac-$\sqrt{3}$ac，
故ac=（24-12$\sqrt{3}$），
故S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}$（24-12$\sqrt{3}$）×$\frac{1}{2}$=6-3$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了三角函數(shù)的化簡，正弦函數(shù)的性質(zhì)以及正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，是一道中檔題．