Question

設(shè)是函數(shù)的零點(diǎn)．
（1）證明：；
（2）證明：．

Answer 1

（1）詳見(jiàn)解析；（2）詳見(jiàn)解析.

試題分析：（1）借助導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)在是單調(diào)函數(shù)，進(jìn)而確定函數(shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，進(jìn)而證明；（2）先將原不等式化為兩個(gè)不等式與，先證明不等式，方法1先證明不等式，然后利用放縮法證明，從而證明不等式成立，方法2是在不等式的基礎(chǔ)上利用數(shù)學(xué)歸納法直接證明不等式成立；再證明不等式
先考察函數(shù)的單調(diào)性證明，然后就時(shí)，將對(duì)進(jìn)行放縮，，進(jìn)而證明。
試題解析：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824020826471613.png" style="vertical-align:middle;" />，，且在上的圖像是一條連續(xù)曲線，
所以函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn)．                           1分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824020826549876.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增．                           2分
所以函數(shù)在上只有一個(gè)零點(diǎn)，且零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)．
而是函數(shù)的零點(diǎn)，
所以．                                   3分
（2）先證明左邊的不等式：
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824020826689725.png" style="vertical-align:middle;" />，
由（1）知，
所以．                                   4分
即．
所以．                                  5分
所以．                   6分
以下證明．             ①
方法1（放縮法）：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240208268141099.png" style="vertical-align:middle;" />，                7分
所以
．                        9分
方法2（數(shù)學(xué)歸納法）：1）當(dāng)時(shí)，，不等式①成立．
2）假設(shè)當(dāng)（）時(shí)不等式①成立，即
．
那么

．
以下證明．                ②
即證．
即證．
由于上式顯然成立，所以不等式②成立．
即當(dāng)時(shí)不等式①也成立．
根據(jù)1）和2），可知不等式①對(duì)任何都成立．
所以．                            9分
再證明右邊的不等式：
當(dāng)時(shí)，．
由于，，
所以．                                  10分
由（1）知，且，所以．            11分
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，                      12分
所以當(dāng)時(shí)，
．
所以當(dāng)時(shí)，都有．
綜上所述，．                       14分