Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=（n-1）S_n+2n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）證明：（1-

1

a12

）（1-

1

a22

）…（1-

1

an2

）＞

2

3

．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列的求和,不等式的證明

專題：計算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=（n-1）S_n+2n（n∈N^*），再寫一式，兩式相減，化簡可得{S_n+2}是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列，求出S_n=2ⁿ⁺¹-2，即可得到結(jié)論；
（2）求出1-

1

an2

，再運用放縮法，不等式左邊＞1-（

1

4

+

1

42

+…+

1

4n

），再由等比數(shù)列的求和公式，即可得證．

解答： 解：（1）∵a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=（n-1）S_n+2n（n∈N^*），①
∴當n≥2時，a₁+2a₂+3a₃+…+（n-1）a_n-1=（n-2）S_n-1+2（n-1）．②
①-②得na_n=（n-1）S_n-（n-2）S_n-1+2，
∴na_n=n（S_n-S_n-1）-S_n+2S_n-1+2，
∴na_n=na_n-S_n+2S_n-1+2．
∴-S_n+2S_n-1+2=0，即S_n=2S_n-1+2，
∴S_n+2=2（S_n-1+2）．
∵S₁+2=4≠0，∴S_n-1+2≠0，
∴{S_n+2}是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列．
∴S_n+2=2ⁿ⁺¹，∴S_n=2ⁿ⁺¹-2，
∴n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ，
n=1時，a₁=S₁=2，也滿足上式，
∴a_n=2ⁿ；
（2）∵1-

1

an2

=1-

1

(2n)2

=1-

1

4n

，
∴（1-

1

a12

）（1-

1

a22

）…（1-

1

an2

）=（1-

1

4

）（1-

1

42

）…（1-

1

4n

）
＞1-（

1

4

+

1

42

+…+

1

4n

）=1-

1 4 (1- 1 4n )

1- 1 4

=1-

1

3

（1-

1

4n

）=

2

3

+

1

3

•

1

4n

＞

2

3

．
∴（1-

1

a12

）（1-

1

a22

）…（1-

1

an2

）＞

2

3

．

點評：本題考查數(shù)列遞推式，考查等比數(shù)列的通項公式和求和公式，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．