Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

6

3

，過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F且斜率為1的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，N為弦AB的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求直線ON的斜率k_ON；
（2）對(duì)于橢圓上的任意一點(diǎn)M，試證：總存在θ，使得等式

OM

=cosθ•

OA

+sinθ•

OB

成立．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專(zhuān)題：向量與圓錐曲線,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）根據(jù)離心率e以及c²與a²、b²的關(guān)系，得出橢圓C的方程，寫(xiě)出直線AB的方程并與橢圓方程聯(lián)立，消去y，再由根與系數(shù)的關(guān)系得出弦AB的中點(diǎn)N的坐標(biāo)，從而得出斜率k_ON；
（2）

OA

與

OB

是兩個(gè)不共線的向量，得出

OM

=λ

OA

+μ

OB

，結(jié)合橢圓的方程，利用坐標(biāo)表示得出λ²+μ²=1，進(jìn)一步得出λ=cosθ，μ=sinθ，證出結(jié)論．

解答： 解：（1）∵離心率e=

c

a

=

6

3

，
∴c=

6

3

a，
又∵c²=a²-b²=

6

9

a²，
∴a=

3

b，
∴橢圓C的方程可化為x²+3y²=3b²…①；
又焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（

2

b，0），
∴AB所在的直線方程為y=x-

2

b…②；
將②代入①并整理，得4x²-6

2

bx+3b²=0…③；
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），弦AB的中點(diǎn)N（x₀，y₀），
∴x₁、x₂是方程③的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
由根與系數(shù)的關(guān)系得x₁+x₂=

3 2 b

2

，x₁x₂=

3b2

4

…④；
∴x₀=

x1+x2

2

=

3 2 b

4

，y₀=x₀-

2

b=-

2 b

4

，
∴k_ON=

y0

x0

=-

1

3

；…（6分）
（2）顯然

OA

與

OB

是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量，
由平面向量的基本定理知，對(duì)于這一平面內(nèi)的向量

OM

，
有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ、μ使得等式

OM

=λ

OA

+μ

OB

成立；
設(shè)M（x，y），由（1）中各點(diǎn)的坐標(biāo)可得（x，y）=λ（x₁，y₁）+μ（x₂，y₂），
∴x=λx₁+μx₂，y=λy₁+μy₂，
又∵點(diǎn)M（x，y）在橢圓C上，則代入①式，得
(λx1+μx2)2+3(λy1+μy2)2=3b²，整理可得
λ²（x12+3y12）+μ²（x22+3y22）+2λμ（x₁x₂+3y₁y₂）=3b²…⑤；
由②和④得x₁x₂+3y₁y₂=x₁x₂+3（x₁-

2

b）（x₂-

2

b）
=4x₁x₂-3

2

b（x₁+x₂）+6b²
=3b²-9b²+6b²=0；
又∵A，B兩點(diǎn)在橢圓上，∴x12+3y12=3b²，x22+3y22=3b²，
代入⑤并化簡(jiǎn)，得λ²+μ²=1；…（12分）
由λ²+μ²=1可得|λ|≤1，|μ|≤1，又λ是唯一確定的實(shí)數(shù)，并且|λ|≤1，
∴存在角θ，使得λ=cosθ成立，則有μ²=1-λ²=sin²θ，∴μ=±sinθ；
若μ=sinθ，則存在θ（θ∈R）使得等式

OM

=cosθ•

OA

+sinθ•

OB

成立；
若μ=-sinθ，由于-sinθ=sin（-θ），cosθ=cos（-θ）于是用θ代換-θ，
同樣可證得存在θ（θ∈R）使得等式

OM

=cosθ•

OA

+sinθ•

OA

成立；
綜上所述，對(duì)于橢圓上的任意一點(diǎn)M，總存在θ（θ∈R）使得等式

OM

=cosθ•

OA

+sinθ•

OB

成立．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量與圓錐曲線的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了直線與橢圓的綜合應(yīng)用問(wèn)題，是難題．