Question

【題目】設是由（）個不同的正整數(shù)組成的集合，其中每個元素的質因子不大于100，且中不存在四個不同的元素，使得這四個數(shù)之積是一個4次方數(shù)，求的最大值．

Answer 1

【答案】

【解析】

不大于100的質數(shù)有

2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，

43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97．

記為（）．

則中的數(shù)均有的形式，其中，（）．

而按奇偶性來分，共有種類型，于是，中可取出

對數(shù)組和，

二者為同一類型，即

（，）．

進而得到組．

若，則可從上述各組中取出一對數(shù)組和，二者為同一類型，

即（，）．

其所對應的中的4個元素之積為，是一個四次方數(shù)．

故．

所以，．

下面證明：．

對每種類型中的分量，若為奇數(shù)，取為；若為偶數(shù)，取為（）．

從而，每種類型的數(shù)組各有3個，共有個數(shù)組．

下面用反證法證明：上述數(shù)組中不存在4個數(shù)組，使得所有的分量之和均為4的倍數(shù)．

假設存在4個數(shù)組，，，，

使得每個分量、、、或

且（）．

易知或．

故

．

因此，上述4個數(shù)組為同一類型．但每種類型只有3個數(shù)組，矛盾．

故．