Question

已知圓C：x²-8x+y²-9=0，過點M（1，3）作直線交圓C于A，B兩點，△ABC面積的最大值為    ．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)題意可設(shè)出過點M（1，3）的直線l方程，利用點到直線的距離公式求得圓心（4，0）到l的距離，用弦心距、半弦長、半徑組成的直角三角形進行計算轉(zhuǎn)化，從而可得到△ABC面積的表達式，可求得其最大值．
解答：解：設(shè)過點M（1，3）的直線方程為l：y-3=k（x-1），由x²-8x+y²-9=0得圓心C（4，0），半徑r=5，
設(shè)圓心C（4，0）到直線l的距離為d，點C在l上的射影為M，則；
在直角△CMA中，=r²-d²===，
又，
 設(shè)△ABC面積為s，=（16-t）•（9+t）=，
∴，
∴．
 故答案為：．
點評：本題考查直線方程與圓的方程的應(yīng)用，解決的方法利用弦心距、半弦長、半徑組成的直角三角形進行計算，難點在于復(fù)雜的運算與化歸，屬于難題．