Question

某城市2002年有人口200萬(wàn)，該年醫(yī)療費(fèi)用投入10億元．此后該城市每年新增人口10萬(wàn)，醫(yī)療費(fèi)用投入每年新增x億元．已知2012年該城市醫(yī)療費(fèi)用人均投入1000元．
（Ⅰ）求x的值；
（Ⅱ）預(yù)計(jì)該城市從2013年起，每年人口增長(zhǎng)率為10%．為加大醫(yī)療改革力度，要求將來(lái)10年醫(yī)療費(fèi)用總投入達(dá)到690億元，若醫(yī)療費(fèi)用人均投入每年新增y元，求y的值．
（參考數(shù)據(jù)：1.1¹¹≈2.85）

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由題意，從2002年起，該城市的人口數(shù)組成一個(gè)等差數(shù)列，從2002年到2012年醫(yī)療費(fèi)用投入也組成一個(gè)等差數(shù)列，然后由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式列等式求得x的值；
（Ⅱ）依題意，從2013年起（記2013年為第一年），該城市的人口數(shù)組成一個(gè)等比數(shù)列{a_n}，求出通項(xiàng)公式，醫(yī)療費(fèi)用人均投入組成一個(gè)等差數(shù)列{b_n}，求出通項(xiàng)公式，然后利用錯(cuò)位相減法求得將來(lái)10醫(yī)療費(fèi)用總投入．

解答： 解：（Ⅰ）依題意，從2002年起，該城市的人口數(shù)組成一個(gè)等差數(shù)列，
到2012年，n=11，該城市的人口數(shù)為200+（11-1）×10=300萬(wàn)人，
故2012年醫(yī)療費(fèi)用投入為300×10⁴×1000=3×10⁹元，即為30億元，
由于從2002年到2012年醫(yī)療費(fèi)用投入也組成一個(gè)等差數(shù)列，
∴10+（11-1）x=30，解得x=2；
（Ⅱ）依題意，從2013年起（記2013年為第一年），
該城市的人口數(shù)組成一個(gè)等比數(shù)列{a_n}，
其中a₁=300×（1+10%）=300×1.1，公比q=1.1，an=300×1．1n．
醫(yī)療費(fèi)用人均投入組成一個(gè)等差數(shù)列{b_n}，
其中b₁=1000+y，公差為y，b_n=1000+ny；
于是，從2013年起，將來(lái)10醫(yī)療費(fèi)用總投入為：
S₁₀=a₁b₁+a₂b₂+…+a₁₀b₁₀，
=300（1000+y）×1.1+300（1000+2y）×1.1²+…+300（1000+10y）×1.1¹⁰，
1.1S10=300(1000+y)×1．12+3000(1000+2y)×1．13+…+300（1000+10y）×1.1¹¹，
相減得：-0.1S10=300[1100+1.1y+1．12y+…+1．110y-(1000+10y)×1．111]
=300[1100+

1.1-1．111

1-1.1

y-(1000+10y)×1．111]=-300(11y+1750)，
∴S_n=3000（11y+1750）（萬(wàn)元），
由題設(shè)，3000（11y+1750）=6900000，解得y=50．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查學(xué)生審題閱讀、理解分析的能力，考查等差等比數(shù)列的基本知識(shí)，考查數(shù)學(xué)建模及其應(yīng)用與計(jì)算的能力，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題和解決實(shí)際問(wèn)題問(wèn)題的能力，是中檔題．