Question

9．已知冪函數(shù)f（x）=x${\;}^{（{m}^{2}+m）^{-1}}$（m∈N^*）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)$（{2，\sqrt{2}}）$．
（1）試求m的值并寫(xiě)出該冪函數(shù)的解析式；
（2）試求滿足f（1+a）＞f（3-$\sqrt{a}}$）的實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)冪函數(shù)的定義，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，求出m的值，從而求出函數(shù)的解析式即可；
（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到關(guān)于a的不等式，解出即可．

解答 解：（1）∵冪函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)$（{2，\sqrt{2}}）$，
∴$\sqrt{2}$=${2}^{{{（m}^{2}+m）}^{-1}}$，即m²+m=2，解得：m=1或m=-2，
∵m∈N^*，故m=1，
故f（x）=$\sqrt{x}$，x∈[0，+∞）；
（2）∵f（x）在[0，+∞）遞增，
由f（1+a）＞f（3-$\sqrt{a}}$），
得$\left\{\begin{array}{l}{1+a≥0}\\{3-\sqrt{a}≥0}\\{1+a＞3-\sqrt{a}}\end{array}\right.$，解得：1＜a≤9，
故a的范圍是（1，9]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了冪函數(shù)的定義，考查函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，是一道基礎(chǔ)題．