Question

（2013•虹口區(qū)二模）如圖，PA⊥平面ABCD，矩形ABCD的邊長(zhǎng)AB=1，BC=2，E為BC的中點(diǎn)．
（1）證明：PE⊥DE；
（2）如果PA=2，求異面直線(xiàn)AE與PD所成的角的大小．

Answer 1

分析：（1）首先利用勾股定理的逆定理證明DE⊥AE，及PA⊥平面ABCD，根據(jù)三垂線(xiàn)定理即可證明PE⊥DE；
（2）取PA的中點(diǎn)M，AD的中點(diǎn)N，連MC、NC、MN、AC．利用三角形的中位線(xiàn)定理可知∠MNC的大小等于異面直線(xiàn)PD與AE所成的角或其補(bǔ)角的大�。�再利用余弦定理即可得出．

解答：（1）證明：連接AE，由AB=BE=1，得AE=

2

，同理DE=

2

，
∴AE²+DE²=4=AD²，由勾股定理逆定理得∠AED=90°，∴DE⊥AE．
∵PA⊥平面ABCD，DE?平面ABCD，根據(jù)三垂線(xiàn)定理可得PE⊥DE．
（2）取PA的中點(diǎn)M，AD的中點(diǎn)N，連MC、NC、MN、AC．
∵NC∥AE，MN∥PD，∴∠MNC的大小等于異面直線(xiàn)PD與AE所成的角或其補(bǔ)角的大�。�
由PA=2，AB=1，BC=2，得NC=MN=

2

，MC=

6

，∴cos∠MNC=

2+2-6

2• 2 • 2

=-

1

2

，∠MNC=

2π

3

．
∴異面直線(xiàn)PD與AE所成的角的大小為

π

3

．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握勾股定理的逆定理、線(xiàn)面垂直的判定與性質(zhì)定理、三垂線(xiàn)定理、三角形的中位線(xiàn)定理、異面直線(xiàn)所成的角、余弦定理是解題的關(guān)鍵．