Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²-2x在x=-2，x=1處取得極值．
①求函數(shù)f（x）的解析式；
②求函數(shù)f（x）在[-3，3]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：①是實(shí)數(shù)集上的可導(dǎo)函數(shù)，再通過(guò)極值點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，即極值點(diǎn)必為f′（x）=0的根建立起相關(guān)等式，運(yùn)用待定系數(shù)法確定a、b的值；
②分別求出端點(diǎn)值和極值，通過(guò)比較即可的出結(jié)論．

解答：解：①∵f（x）=ax³+bx²-2x
∴f′（x）=3ax²+2bx-2…..（2分）
由題意知    f′（-2）=0，f′（1）=0 …．（3分）
則

3a×4-4b-2=0 3a+2b-2=0

?a=

1

3

，b=

1

2

…..（5分）
所以f（x）=

1

3

x³+

1

2

x²-2x…..（7分）
②因?yàn)閒（-2）=

1

3

(-2)3+

1

2

(-2)2-2×(-2)=

10

3

f（1）=

1

3

×13+

1

2

×12-2×1=-

7

6

f（-3）=

1

3

(-3)3 + 

1

2

(-3)2-2×(-3)=

3

2

f（3）=

1

3

×33+

1

2

×32-2×3=

15

2

．…．（11分）
所以：函數(shù)f（x）的最大值為

15

2

，最小值-

7

6

…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，求函數(shù)在閉區(qū)間[a，b]上的最大值與最小值是通過(guò)比較函數(shù)在（a，b）內(nèi)所有極值與端點(diǎn)函數(shù)f（a），f（b） 比較而得到的．