Question

在1，2之間插入n個正數(shù)a₁，a₂，…，a_n，使這n+2個數(shù)成等比數(shù)列，則a₁a₂a₃…a_n=

2

n

2

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意可得：1，a₁，a₂，a₃，…，a_n，2成等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)當m+n=p+q（m，n，p，q∈N₊）時，則有a_ma_n=a_pa_q可得a₁a_n=a₂a_n-1=…=a_ka_n-k=1×2，再利用倒序相乘可得答案．

解答：解：由題意可得：1，a1，a2，a3，，an，2成等比數(shù)列，
根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)：{an}為等比數(shù)列，當m+n=p+q（m，n，p，q∈N+）時，則有aman=apaq可得：a1an=a2an-1=a3an-2=akan-k=1×2=2，
所以（a1•a2…an）2=（a1an）（a2an-1）（a3an-2）（an-1a2）（ana1）=（1×2）n=2n，
所以a1a2a3…an=2

n

2

．
故答案為：2

n

2

．

點評：本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，即：在等比數(shù)列{a_n}中，當m+n=p+q（m，n，p，q∈N₊）時，則有a_ma_n=a_pa_q．