Question

20．F為雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線右支上，△POF（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）滿足OF=OP=5，$P{F_{\;}}=2\sqrt{5}$，則雙曲線的離心率為 （　�。�

• A． $\sqrt{3}+1$
• B． $\sqrt{5}$
• C． 2
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 運(yùn)用余弦定理可得cos∠OFP，求得sin∠OFP，求得P的坐標(biāo)，代入雙曲線方程，結(jié)合a，b，c的關(guān)系，求得a，再由離心率公式，計算即可得到．

解答 解：由余弦定理可得cos∠OFP=$\frac{{5}^{2}+{5}^{2}-（2\sqrt{5}）^{2}}{2×5×5}$=$\frac{3}{5}$，
則sin∠OFP=$\sqrt{1-co{s}^{2}∠OFP}$=$\frac{4}{5}$，
可設(shè)P為第一象限的點(diǎn)，
即有P（3，4），
代入雙曲線方程，可得$\frac{9}{{a}^{2}}-\frac{16}{^{2}}=1$，
又a²+b²=25，
解得a=$\sqrt{5}$，b=2$\sqrt{5}$，
則離心率為e=$\sqrt{5}$．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要考查雙曲線的離心率的求法，同時考查余弦定理和任意角的三角函數(shù)的定義，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．