Question

已知等比數(shù)列{a_n}中，a₂，a₃，a₄分別是某等差數(shù)列的第5項(xiàng)、第3項(xiàng)、第2項(xiàng)，且a1=

1

2

，公比q≠1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）已知數(shù)列{b_n}滿足：a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=2n-1（n∈N^*），求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

（1）由已知條件得a₂-a₃=2（a₃-a₄）．
即a₁（q-q²）=2a₁（q²-q³）
整理得：2q³-3q²+q=0解得q=

1

2

或q=1（舍去）或q=0（舍去）
所以an=(

1

2

)n．
（2）當(dāng)n=1時(shí)，a₁b₁=1，∴b₁=2，
當(dāng)n≥2時(shí)，a₁b₁+a₂b₂++a_n-1b_n-1+a_nb_n=2n-1（1）
a₁b₁+a₂b₂++a_n-1b_n-1=2n-3（2）
（1）-（2）得：a_nb_n=2
∵an=(

1

2

)n．∴b_n=2^{n+1（n≥2）}
因此bn=

2，n=1 2n+1，n≥2

當(dāng)n=1時(shí)，S_n=S₁=b₁=2；
當(dāng)n≥2時(shí)，Sn=b1+b2++bn=2+

8(1-2n-1)

1-2

=2n+2-6．
綜上，S_n=2ⁿ⁺²-6．