Question

關(guān)于平面向量

a

，

b

，

c

，有下列三個(gè)命題：
①若

a

•

b

=

a

•

c

，則

b

=

c

、
②若

a

=（1，k），

b

=（-2，6），

a

∥

b

，則k=-3．
③非零向量

a

和

b

滿足|

a

|=|

b

|=|

a

-

b

|，則

a

與

a

+

b

的夾角為60°．
其中真命題的序號(hào)為

 

．（寫(xiě)出所有真命題的序號(hào)）

Answer 1

分析：①向量不滿足約分運(yùn)算，但滿足分配律，由此我們利用向量的運(yùn)算性質(zhì)，可判斷平面向量

a

，

b

，

c

的關(guān)系；
②中，由

a

∥

b

，我們根據(jù)兩個(gè)向量平行，坐標(biāo)交叉相乘差為0的原則，可以構(gòu)造一個(gè)關(guān)于k的方程，解方程即可求出k值；
③中，若|

a

|=|

b

|=|

a

-

b

|，我們利用向量加減法的平行四邊形法則，可以畫(huà)出滿足條件圖象，利用圖象易得到兩個(gè)向量的夾角；

解答：解：①若

a

•

b

=

a

•

c

，則

a

•（

b

-

c

）=0，此時(shí)

a

⊥（

b

-

c

），而不一定

b

=

c

，①為假．
②由兩向量

a

∥

b

的充要條件，知1×6-k•（-2）=0，解得k=-3，②為真．
③如圖，在△ABC中，設(shè)

AB

=a，

AC

=b，

CB

=a-b，
由|

a

|=|

b

|=|

a

-

b

|，可知△ABC為等邊三角形．
由平行四邊形法則作出向量

a

+

b

=

AD

，
此時(shí)

a

與

a

+

b

成的角為30°．③為假．
綜上，只有②是真命題．
答案：②

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是向量的運(yùn)算性質(zhì)及命題的真假判斷與應(yīng)用，處理的關(guān)鍵是熟練掌握向量的運(yùn)算性質(zhì)，如兩個(gè)向量垂直，則數(shù)量積為0，兩個(gè)向量平等，坐標(biāo)交叉相乘差為0等．