Question

已知f（x）=2^x-

a

2x

（1）當(dāng)a∈R，求f（x）在[-2，2]的最小值；
（2）當(dāng)a=1，2^tf（2t）-mf（t）+2^-t≥0恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）令2^x=t，由x∈[-2，2]，可得t∈[

1

4

，4]．令g（t）=f（x）=t-

a

t

.t∈[

1

4

，4]．通過(guò)對(duì)a分類討論，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可；
（2）當(dāng)a=1，2^tf（2t）-mf（t）+2^-t≥0化為m（4^t-1）≤4^2t，通過(guò)對(duì)t分類討論，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答： 解：（1）令2^x=t，∵x∈[-2，2]，∴2x∈[

1

4

，4]，即t∈[

1

4

，4]．
令g（t）=f（x）=t-

a

t

.t∈[

1

4

，4]．
則g′(t)=1+

a

t2

．
當(dāng)a≥0時(shí)，g′（t）＞0，∴函數(shù)g（t）在t∈[

1

4

，4]單調(diào)遞增，∴當(dāng)t=

1

4

時(shí)，g（t）取得最小值，且g(

1

4

)=

1

4

-4a．
當(dāng)a＜0時(shí)，g′(t)=

t2+a

t2

=

(t+ -a )(t- -a )

t2

，
①當(dāng)

-a

≥4時(shí)，即a≤-16時(shí)，g′（t）≤0，函數(shù)g（t）在t∈[

1

4

，4]上單調(diào)遞減，∴當(dāng)t=4時(shí)，函數(shù)g（t）取得最小值，g（4）=4-

a

4

．
②當(dāng)

-a

≤

1

4

時(shí)，即-

1

16

≤a＜0時(shí)，g′（t）≥0，函數(shù)g（t）在t∈[

1

4

，4]上單調(diào)遞增，∴當(dāng)t=

1

4

時(shí)，函數(shù)g（t）取得最小值，g（

1

4

）=

1

4

-4a．
③當(dāng)

1

4

＜

-a

＜4時(shí)，即-16＜a＜-

1

16

時(shí)，當(dāng)

1

4

≤t＜

-a

時(shí)，g′（t）＜0，此時(shí)函數(shù)g（t）單調(diào)遞減；當(dāng)

-a

＜t≤4時(shí)，g′（t）＞0，此時(shí)函數(shù)g（t）單調(diào)遞增．
∴當(dāng)t=

-a

時(shí)，函數(shù)g（t）取得最小值，g(

-a

)=2

-a

．
綜上可得：f（x）_min=

1 4 -4a，a≥- 1 16 -2a ，-16＜a＜- 1 16 4- a 4 ，a≤-16

．
（2）當(dāng)a=1，2^tf（2t）-mf（t）+2^-t≥0化為m（4^t-1）≤4^2t，
當(dāng)t=0時(shí)，對(duì)于任意實(shí)數(shù)m恒成立；
當(dāng)t＜0時(shí)，4^t＜1，上式化為m≥

42t

4t-1

，∵

42t

4t-1

=

42t-1+1

4t-1

=4t-1+

1

4t-1

+2=-[(1-4t)+

1

1-4t

]+2＜0，可得m≥0．
當(dāng)t＞0時(shí)，4^t＞1，上式化為m≤

42t

4t-1

，∵

42t

4t-1

=

42t-1+1

4t-1

=4t-1+

1

4t-1

+2≥2

(4t-1)• 1 4t-1

+2=4，當(dāng)且僅當(dāng)t=

1

2

時(shí)取等號(hào)，可得m≤4．
綜上可得：0≤m≤4．
即m的取值范圍是：[0，4]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、基本不等式的性質(zhì)，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．