Question

已知等比數(shù)列{a_n}各項(xiàng)都是正數(shù)，a₁=2，a_n•a_n+1=m•4ⁿ，n∈N^*
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求證：

a1	a1

•

a2	a2

…

an	an

＜4．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由an•an+1=m•4n，得到當(dāng)n≥2時(shí)，an-1•an=m•4n-1，兩式相除，計(jì)算可得公比，再進(jìn)一步算通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）由（Ⅰ），計(jì)算

a1	a1

•

a2	a2

•…•

an	an

=2

1

21

•2

2

22

•…•2

n

2n

=2

1

21

+

2

22

+…+

n

2n

，令S=

1

21

+

2

22

+…+

n

2n

，利用錯(cuò)位相乘法計(jì)算S得表達(dá)式，得到S＜2，從而使不等式得到證明．

解答： 解：（Ⅰ）由an•an+1=m•4n       ①
得，n≥2時(shí)，an-1•an=m•4n-1，②

①

②

，得

an+1

an-1

=4，得q²=4，又q＞0，
∴q=2，又a₁=2，
∴a_n=2ⁿ，n∈N^*．
（Ⅱ）

an	an

=an

1

an

=(2n)

1

2n

=2

n

2n

，
∴

a1	a1

•

a2	a2

•…•

an	an

=2

1

21

•2

2

22

•…•2

n

2n

=2

1

21

+

2

22

+…+

n

2n

，
令S=

1

21

+

2

22

+…+

n

2n

，①
則

1

2

S=

1

22

+

2

23

+…+

n-1

2n

+

n

2n+1

      ②
①-②，得

1

2

S=

1

21

+

1

22

+…

1

2n

-

n

2n+1

=1-

1

2n

-

n

2n+1

＜1，
∴S＜2，
∴

a1	a1

•

a2	a2

•…•

an	an

=2^S＜2²=4．

點(diǎn)評：數(shù)列是高考題中的常見題型，本題的考查涉及到迭代的方法和錯(cuò)位相乘法，這兩種方法是數(shù)列中經(jīng)�？疾榈姆椒�，除此之外，在數(shù)列求和時(shí)還有倒序相加法，分組求和法，裂項(xiàng)相消法，構(gòu)造等比、等差數(shù)列法等等．