Question

17．設(shè)函數(shù)f（x）=cos（2x+$\frac{π}{3}$）+sin²x．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和最大值；
（2）若θ是第二象限角，且f（$\frac{θ}{2}$）=0，求$\frac{cos2θ}{1+cos2θ-sin2θ}$的值．

Answer 1

分析 （1）由三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用化簡(jiǎn)函數(shù)解析式可得f（x）=$\frac{1}{2}-$$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x，由周期公式可求函數(shù)f（x）的最小正周期，利用正弦函數(shù)的最值即可得解函數(shù)的最大值．
（2）由f（$\frac{θ}{2}$）=$\frac{1}{2}-$$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinθ=0，解得sinθ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，結(jié)合θ范圍利用同角三角函數(shù)關(guān)系式可求cosθ的值，利用倍角公式化簡(jiǎn)所求后代入即可得解．

解答 解：（1）∵f（x）=cos（2x+$\frac{π}{3}$）+sin²x=$\frac{1}{2}$cos2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1-cos2x}{2}$=$\frac{1}{2}-$$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x，
∴函數(shù)f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$，f（x）_max=$\frac{1}{2}-$$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x_min=$\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（2）∵θ是第二象限角，且f（$\frac{θ}{2}$）=$\frac{1}{2}-$$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinθ=0，解得sinθ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴cosθ=-$\sqrt{1-si{n}^{2}θ}$=-$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴$\frac{cos2θ}{1+cos2θ-sin2θ}$=$\frac{2co{s}^{2}θ-1}{1+（2co{s}^{2}θ-1）-2sinθcosθ}$=$\frac{2×（-\frac{\sqrt{6}}{3}）^{2}-1}{2×（-\frac{\sqrt{6}}{3}）^{2}-2×\frac{\sqrt{3}}{3}×（-\frac{\sqrt{6}}{3}）}$=$\frac{2-\sqrt{2}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了學(xué)生的計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．