Question

2．已知橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，過(guò)其右焦點(diǎn)F作傾斜角為$\frac{π}{4}$的直線．交橢圓于P，Q兩點(diǎn)．若OP⊥OQ，求此橢圓的離心率．

Answer 1

分析 先設(shè)出橢圓方程與直線的方程，然后與直線方程聯(lián)立消去y，得到兩根之和、兩根之積的關(guān)系式，
再由OP⊥OQ，可得到兩點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系式，然后再與兩根之和、兩根之積的關(guān)系式聯(lián)立可求a，c的關(guān)系式，從而可確定橢圓離心率．

解答 解：設(shè)橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，直線方程為y=x-c，其中a＞b＞0，c＞0，c²=a²-b²，
聯(lián)立直線與橢圓方程，消去y得到，（a²+b²）x²-2a²c•x+a²（c²-b²）=0，
設(shè)點(diǎn)P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），
則x₁+x₂=$\frac{2{a}^{2}c}{{a}^{2}+^{2}}$，x₁x₂=$\frac{{a}^{2}（{c}^{2}-^{2}）}{{a}^{2}+^{2}}$       ①，
由于OP⊥OQ，則x₁x₂+y₁y₂=0，
由于P，Q兩點(diǎn)在直線y=x-c上，
則x₁x₂+（x₁-c）（x₂-c）=0，即2x₁x₂-c（x₁+x₂）+c²=0    ②
將①代入②，得到2•$\frac{{a}^{2}（{c}^{2}-^{2}）}{{a}^{2}+^{2}}$-c•$\frac{2{a}^{2}c}{{a}^{2}+^{2}}$+c²=0，
又由c²=a²-b²，則c⁴-4a²c²+2a⁴=0，
由于$e=\frac{c}{a}$（0＜e＜1），則e⁴-4e²+2=0，解得e²=2+$\sqrt{2}$（舍）或e²=2-$\sqrt{2}$，
則e=$\sqrt{2-\sqrt{2}}$．
故此橢圓的離心率為$\sqrt{2-\sqrt{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線與橢圓的綜合題．直線與圓錐曲線的綜合題一般是將兩方程聯(lián)立消去x或y得到一元二次方程，然后表示出兩根之和、兩根之積，再由題中條件可解題