【題目】如圖所示，在五棱錐中，側(cè)面底面，是邊長為2的正三角形，四邊形為正方形，，且，是的重心，是正方形的中心.

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）

【解析】

（1）證明線面平行，轉(zhuǎn)化為線線平行．取中點，中點，連接，即可．（2）求二面角的余弦值，以為原點，以方向為軸正方向，以方向為軸正方向，以方向為軸正方向，建立空間直角坐標系即可．

（Ⅰ）取中點，中點，連接，，易知，，，四點共線.

由，且，可知為等腰直角三角形，所以.

因為是正方形的中心，所以.

所以，所以.又是的重心，所以.

所以，故.又因為平面，平面.

所以平面.

（Ⅱ）解法一：因為為中點，是正三角形，所以.

因為側(cè)面底面，且交線為，所以底面.所以直線，，兩兩垂直.

如圖，以為原點，以方向為軸正方向，以方向為軸正方向，以方向為軸正方向，建立空間直角坐標系.

則，，，.所以，，.

設平面的法向量為，

則令，則.

設平面的法向量為，

則，令，則.

所以.

結(jié)合圖可知，二面角的余弦值為.

解法二：取，中點分別為，，連接，，則.

又側(cè)面底面，，側(cè)面底面，所以平面.

又平面，所以，所以.

又，，所以，所以.

所以為二面角的平面角.

易知，所以.因為，，

所以，所以.

即二面角的余弦值為.

練習冊系列答案
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根據(jù)折線圖和條形圖，下列結(jié)論錯誤的是（　�。�

A. 2012﹣2013 年研發(fā)投入占營收比增量相比 2017﹣2018 年增量大

B. 該企業(yè)連續(xù) 12 年研發(fā)投入逐年增加

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②；

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