【題目】已知函數(shù),.
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若存在與函數(shù),的圖象都相切的直線,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)見解析;(2)
【解析】
(1)對(duì)h(x)求導(dǎo),得,對(duì),分別討論,得單調(diào)區(qū)間;
(2)設(shè)f(x)在點(diǎn)(x1,f(x1))與g(x)在點(diǎn)(x2,f(x2))處切線相同,則,分別求得導(dǎo)數(shù)和切線的斜率,構(gòu)造新函數(shù) ,求出導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間,最值,運(yùn)用單調(diào)性計(jì)算可得a的范圍.
(1)函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,,
所以
所以當(dāng)即時(shí),,在上單調(diào)遞增;
當(dāng)即時(shí),
當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增;
當(dāng)時(shí),令得
|
|
|
|
| + | - | + |
| 增 | 減 | 增 |
綜上:當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí)在,單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.
(2)設(shè)函數(shù)在點(diǎn)與函數(shù)在點(diǎn)處切線相同,
,則,
由,得,再由
得,把代入上式得
設(shè)(∵x2>0,∴x∈(0,+∞)),
則 不妨設(shè).
當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),
所以在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,
把代入可得:
設(shè),則對(duì)恒成立,
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增,又
所以當(dāng)時(shí),即當(dāng)時(shí),
又當(dāng)時(shí),
因此當(dāng)時(shí),函數(shù)必有零點(diǎn);即當(dāng)時(shí),必存在使得成立;
即存在使得函數(shù)在點(diǎn)與函數(shù)在點(diǎn)處切線相同.
又由單調(diào)遞增得,因此
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了解甲、乙兩廠的產(chǎn)品質(zhì)量,采用分層抽樣的方法從甲、乙兩廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中分別抽取14件和5件,測量產(chǎn)品中的微量元素x,y的含量(單位:毫克).下表是乙廠的5件產(chǎn)品的測量數(shù)據(jù):
編號(hào) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
x | 169 | 178 | 166 | 175 | 180 |
y | 75 | 80 | 77 | 70 | 81 |
已知甲廠生產(chǎn)的產(chǎn)品共有98件.
(1)求乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量;
(2)當(dāng)產(chǎn)品中的微量元素x,y滿足x≥175,且y≥75時(shí),該產(chǎn)品為優(yōu)等品,用上述樣本數(shù)據(jù)估計(jì)乙廠生產(chǎn)的優(yōu)等品的數(shù)量;
(3)從乙廠抽出的上述5件產(chǎn)品中,隨機(jī)抽取2件,求抽取的2件產(chǎn)品中優(yōu)等品數(shù)的分布列及其均值(即數(shù)學(xué)期望).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓W:(a>b>0)的離心率,其右頂點(diǎn)A(2,0),直線l過點(diǎn)B(1,0)且與橢圓交于C,D兩點(diǎn).
(Ⅰ)求橢圓W的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)判斷點(diǎn)A與以CD為直徑的圓的位置關(guān)系,并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】改革開放以來,中國經(jīng)濟(jì)飛速發(fā)展,科學(xué)技術(shù)突飛猛進(jìn)。高鐵、核電、橋梁、激光、通信、人工智能、航空航天、移動(dòng)支付、量子通訊、特高壓輸電等許多技術(shù)都領(lǐng)先于世界。厲害了,我的國!把“厲害了我的國”這六個(gè)字隨機(jī)地排成一排,其中“厲”、“害”這兩個(gè)字必須相鄰(可以交換順序),“了”、“的”這兩個(gè)助詞不能相鄰,則不同排法的種數(shù)為( )。
A. B. C. D.
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【題目】已知矩形的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn),邊所在直線的方程為.點(diǎn)在邊所在直線上.求:
(1)邊所在直線的方程;
(2)邊所在直線的方程.
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【題目】某食品廠制作了3種與“!弊钟嘘P(guān)的精美卡片,分別是“富強(qiáng)!薄ⅰ昂椭C!、“友善!,每袋食品隨機(jī)裝入一張卡片,若只有集齊3種卡片才可獲獎(jiǎng),則購買該食品4袋,獲獎(jiǎng)的概率為( )
A. B. C. D.
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【題目】已知正方形的對(duì)角線與相交于點(diǎn),將沿對(duì)角線折起,使得平面平面(如圖),則下列命題中正確的為
A.直線直線,且直線直線
B.直線平面,且直線平面
C.平面平面,且平面平面
D.平面平面,且平面平面
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某海域的東西方向上分別有A,B兩個(gè)觀測點(diǎn)(如圖),它們相距海里.現(xiàn)有一艘輪船在D點(diǎn)發(fā)出求救信號(hào),經(jīng)探測得知D點(diǎn)位于A點(diǎn)北偏東45°,B點(diǎn)北偏西60°,這時(shí),位于B點(diǎn)南偏西60°且與B點(diǎn)相距海里的C點(diǎn)有一救援船,其航行速度為30海里/小時(shí).
(1)求B點(diǎn)到D點(diǎn)的距離BD;
(2)若命令C處的救援船立即前往D點(diǎn)營救,求該救援船到達(dá)D點(diǎn)需要的時(shí)間.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在四棱錐中,底面是矩形,平面,AB 1,AP AD 2.
(1)求直線與平面所成角的正弦值;
(2)若點(diǎn)M,N分別在AB,PC上,且平面,試確定點(diǎn)M,N的位置.
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