Question

6．若n是77⁷⁷-10除以19的余數，則${（{\frac{5}{2x}-\frac{2}{5}\root{3}{x^2}}）^n}$的展開式中的常數項為$\frac{168}{5}$．

Answer 1

分析 利用二項式定理求得77⁷⁷-10除以19的余數為n=10，再在 ${（\frac{5}{2x}-\frac{2}{5}{•x}^{\frac{2}{3}}）}^{10}$的展開式的通項共公式中，令x的冪指數等于0，求得r的值，即可求得展開式中的常數項的值．

解答 解：又由77⁷⁷-10=（76+1）⁷⁷-10=C₇₇⁰76⁷⁷+C₇₇¹76⁷⁶+C₇₇²76⁷⁵+…+C₇₇⁷⁶76+1-10，
故77⁷⁷-10除以19的余數為-9，即77⁷⁷-10除以19的余數為10，可得n=10．
∴則${（{\frac{5}{2x}-\frac{2}{5}\root{3}{x^2}}）^n}$=${（\frac{5}{2x}-\frac{2}{5}{•x}^{\frac{2}{3}}）}^{10}$的展開式的通項共公式為T_r+1=${C}_{10}^{r}$•（-1）^r•${（\frac{5}{2}）}^{10-2r}$•${x}^{\frac{5r}{3}-10}$，
令$\frac{5r}{3}$-10=0，求得r=6，∴展開式中的常數項為${C}_{10}^{6}$•${（\frac{5}{2}）}^{-2}$=$\frac{168}{5}$，
故答案為：$\frac{168}{5}$．

點評 本題主要考查二項式定理的應用，二項式系數的性質，二項式展開式的通項公式，屬于基礎題．