Question

（1）求焦點為（0，-6），（0，6）且經(jīng)過點（2，-5）的雙曲線方程；
（2）正三角形的一個頂點位于拋物線y²=2px（p＞0）的焦點，另外兩個頂點在拋物線上，求正三角形的邊長．

Answer 1

分析：（1）設出雙曲線方程，根據(jù)c=6，雙曲線經(jīng)過點（2，-5），建立方程，即可求得雙曲線方程；
（2）確定正三角形的邊所在直線的方程與拋物線方程聯(lián)立，即可求正三角形的邊長．

解答：解：（1）由題意，雙曲線的焦點在y軸上且c=6
設方程為

y2

a2

-

x2

b2

=1（a＞0，b＞0），則a²+b²=c²=36
∵雙曲線經(jīng)過點（2，-5）
∴

25

a2

-

4

b2

=1
∴a²=20，b²=16
∴雙曲線方程為

y2

20

-

x2

16

=1；
（2）∵拋物線y²=2px關(guān)于x軸對稱，
∴若正三角形的一個頂點位于焦點，另外兩個頂點在拋物線y²=2px（p＞0）上，
∴A，B點關(guān)于x軸對稱，
∴直線FA傾斜角為30°，斜率為

3

3

∴直線FA方程為y=

3

3

（x-

p

2

）
與拋物線方程聯(lián)立，可得y2-2

3

py-p²=0
∴y=（

3

+2）p或y=（

3

-2）p
∴|AB|=2（

3

+2）p或|AB|=2（

3

-2）p．

點評：本題考查雙曲線方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．