Question

已知cos(α+

π

4

)=

3

5

，(

π

2

＜α＜

3

2

π)．
（1）求sinα•cosα的值；
（2）求sin(2α+

π

4

)的值．

Answer 1

分析：（1）把已知的等式左邊利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡(jiǎn)，得出cosα-sinα的關(guān)系式，把此關(guān)系式兩邊平方后，根據(jù)同角三角函數(shù)間的平方關(guān)系化簡(jiǎn)，求出sinαcosα的值；
（2）由（1）求出的sinαcosα的值大于0，且根據(jù)α的范圍，得到α的具體范圍，進(jìn)而得到sinα+cosα小于0，利用完全平方公式化簡(jiǎn)（sinα+cosα）²，再根據(jù)同角三角函數(shù)間的平方關(guān)系化簡(jiǎn)后，把sinαcosα的值代入，開(kāi)方求出sinα+cosα的值，再由cosα-sinα的值，代入cos2α化簡(jiǎn)后的式子中求出cos2α的值，將sinαcosα的值代入sin2α化簡(jiǎn)后的式子中求出sin2α的值，最后把所求式子利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡(jiǎn)后，把sin2α和cos2α的值代入即可求出值．

解答：解：（1）∵cos(α+

π

4

)=

3

5

，
∴cosα-sinα=

3 2

5

，…（2分）
兩邊平方得：（cosα-sinα）²=1-2sinαcosα=

18

25

，
則sinαcosα=

7

50

；…（5分）
（2）∵sinαcosα=

7

50

＞0且

π

2

＜α＜

3

2

π，
∴π＜α＜

3

2

π，從而sinα+cosα＜0，
又(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα=

32

25

，
∴cosα+sinα=-

4 2

5

，又cosα-sinα=

3 2

5

，
∴cos2α=cos2α-sin2α=-

24

25

，…（9分）
sin2α=

7

25

，…（10分）
則sin(2α+

π

4

)=

2

2

(sin2α+cos2α)=-

17 2

50

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，完全平方公式的運(yùn)用，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握公式及基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．