【題目】已知p3+q3=2,求證:p+q≤2.
【答案】假設(shè)p+q>2,則q>2-p,
根據(jù)冪函數(shù)y=x3的單調(diào)性,得q3>(2-p)3,
即q3>8-12p+6p2-p3,
p3+q3>8-12p+6p2=6≥2,
故p3+q3>2.因此p3+q3≠2.
這與題設(shè)p3+q3=2矛盾,從而假設(shè)不成立.
故p+q≤2成立.
【解析】
利用反證法,假設(shè)結(jié)論不成立,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與整式的乘方運(yùn)算,構(gòu)造立方和的形式,證明假設(shè)的結(jié)論與題設(shè)矛盾,即可證得原結(jié)論正確.
假設(shè)p+q>2,則q>2-p,
根據(jù)冪函數(shù)y=x3的單調(diào)性,得q3>(2-p)3,
即q3>8-12p+6p2-p3,
p3+q3>8-12p+6p2=6≥2,
故p3+q3>2.因此p3+q3≠2.
這與題設(shè)p3+q3=2矛盾,從而假設(shè)不成立.
故p+q≤2成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD為矩形,PA⊥平面ABCD,E為PD的中點(diǎn).
(1)證明:PB∥平面AEC;
(2)已知AP=AB=1,AD= ,求二面角D﹣AE﹣C的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓E:=1(a>b>0)過(guò)點(diǎn)A,離心率為,點(diǎn)F1,F2分別為其左、右焦點(diǎn).
(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)是否存在圓心在原點(diǎn)的圓,使得該圓的任意一條切線(xiàn)與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)P,Q,且?若存在,求出該圓的方程,并求|PQ|的最大值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)分別為橢圓的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)為橢圓的左頂點(diǎn),點(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn),且.
(1)若橢圓的離心率為,求橢圓的方程;
(2)設(shè)為橢圓上一點(diǎn),且在第一象限內(nèi),直線(xiàn)與軸相交于點(diǎn),若以為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn),證明:點(diǎn)在直線(xiàn)上.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知?jiǎng)狱c(diǎn)M(x,y)到直線(xiàn)ι:x=4的距離是它到點(diǎn)N(1,0)的距離的2倍.
(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程;
(2)過(guò)點(diǎn)P(0,3)的直線(xiàn)m與軌跡C交于A,B兩點(diǎn),若A是PB的中點(diǎn),求點(diǎn)A的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),M(1,0),=(3λ,4λ)(λ≠0),=-4,若拋物線(xiàn)y2=ax經(jīng)過(guò)A和B兩點(diǎn),則a的值為( )
A. 2 B. -2
C. -4 D. 4
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知直線(xiàn)y=k(x+3)(k>0)與拋物線(xiàn)C:y2=12x相交于A,B兩點(diǎn),F為C的焦點(diǎn),若|FA|=3|FB|,則k的值等于_____.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)的展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和為M,二項(xiàng)式系數(shù)之和為N,M-N=992.
(1)判斷該展開(kāi)式中有無(wú)x2項(xiàng)?若有,求出它的系數(shù);若沒(méi)有,說(shuō)明理由;
(2)求此展開(kāi)式中有理項(xiàng)的項(xiàng)數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】數(shù)列{an}的通項(xiàng)an=n2(cos2 ﹣sin2 ),其前n項(xiàng)和為Sn , 則S30為 .
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