設(shè)橢圓＝1的兩個焦點為F1、F2，長軸端點為A1、A2．

(1)P是橢圓上一點，且∠F1PF2＝60°．求△F1PF2的面積；

(2)若橢圓上存在一點Q，使得∠A1QA2＝120°，求橢圓離心率e的取值范圍．

答案：
解析：

　　解：(1)設(shè)|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，在△F1PF2中，|F1F2|＝2c，∠F1PF2＝60°．

　　由余弦定理得4c2＝r12＋r22－2r1r2cos60°，

　　即4c2＝(r1＋r2)2－3r1r2．

　　∵r1＋r2＝2a，∴r1r2＝．

　　∴△F1PF2的面積為

　　．

　　(2)設(shè)Q(x0，y0)，A1(－a，0)，A2(a，0)，

　　∴2a·|y0|＝|QA1|·|QA2|·sin120°．

　　∴|QA1|·|QA2|＝．

　　由余弦定理得|QA1|2＋|QA2|2－|A1A2|2＝2|QA1|·|QA2|cos120°．

　　即(x0＋a)2＋y02＋(x0－a)2＋y02－4a2＝．

　　∴a2－x02＝y(tǒng)02＋�、�

　　∵，∴a2－x02＝代入①式得

　　．

　　∵y0≠0，

　　∴|y0|＝．

　　∵|y0|≤b，

　　∴≤b，

　　即≤0．

　　∴．

　　∴e2＝，且e2＜1．

　　∴≤e＜1．


提示：

本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)及三角形的有關(guān)知識．利用特征△F1PF2中余弦定理及橢圓定義解第(1)問，利用三角形的等積轉(zhuǎn)化及橢圓的范圍構(gòu)造不等式后轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的不等式求解(2)．


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