Question

已知橢圓C：（a＞b＞0）上的一動點P到右焦點的最短距離為，且右焦點到右準線的距離等于短半軸的長．
（Ⅰ） 求橢圓C的方程；
（Ⅱ） 過點M（0，）的動直線l交橢圓C于A、B兩點，試問：在坐標平面上是否存在一個定點T，使得無論l如何轉動，以AB為直徑的圓恒過定點T？若存在，求出點T的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先設橢圓的焦距為2c，則由題設得關于a，b．c的方程，解此方程組得，b=1．最后寫出橢圓C的方程即可；
（Ⅱ）對于存在性問題，可先假設存在，即假設存在點T（u，v）．若直線l的斜率存在，設其方程為，將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根系數(shù)的關系利用向量的坐標運算公式即可求得點T的坐標，若出現(xiàn)矛盾，則說明假設不成立，即不存在；否則存在．
解答：解：（Ⅰ）設橢圓的焦距為2c，
則由題設可知，
解此方程組得，b=1．
所以橢圓C的方程是．…（5分）
（Ⅱ）假設存在點T（u，v）．若直線l的斜率存在，設其方程為，
將它代入橢圓方程，并整理，得（18k²+9）x²-12kx-16=0
設點A、B的坐標分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則…（7分）
因為及，
所以==…（10分）
當且僅當恒成立時，以AB為直徑的圓恒過定點T，
所以解得u=0，v=1．
此時以AB為直徑的圓恒過定點T（0，1）．…（12分）
當直線l的斜率不存在，l與y軸重合，以AB為直徑的圓為x²+y²=1也過點T（0，1）．
綜上可知，在坐標平面上存在一個定點T（0，1），滿足條件．…（14分）
點評：本小題主要考查橢圓的標準方程、向量的坐標運算、直線與圓錐曲線的綜合問題等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于基礎題．