Question

【題目】如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD為梯形，AD∥BC，CD⊥BC，AD＝2，AB＝BC＝3，PA＝4，M為AD的中點，N為PC上一點，且PC＝3PN.

(1)求證：MN∥平面PAB；

(2)求二面角PANM的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】試題分析：（1）作NH∥BC，根據(jù)平幾知識可得AMNH為平行四邊形，即得MN∥AH. 再根據(jù)線面平行判定定理得結(jié)論（2）先根據(jù)空間直角坐標系，再設立各點坐標，根據(jù)方程組解得平面法向量，根據(jù)向量數(shù)量積求向量夾角，最后根據(jù)二面角與向量夾角相等或互補關系得結(jié)果．

試題解析：

(1)證明：在平面PBC內(nèi)作NH∥BC交PB于點H，連接AH，

在△PBC中，NH∥BC，且NH＝BC＝1，AM＝AD＝1.

∵AD∥BC，∴NH∥AM，且NH＝AM，

∴四邊形AMNH為平行四邊形，∴MN∥AH.

∵AH平面PAB，MN平面PAB，∴MN∥平面PAB.

(2)解：在平面ABCD內(nèi)作AE∥CD交BC于E，則AE⊥AD.

分別以AE，AD，AP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系A－xyz，則P(0,0,4)，M(0,1,0)，C(2，2,0)，N.

設平面AMN的法向量m＝(x，y，z)，＝(0,1,0)，＝，

則取m＝.

設平面PAN的法向量n＝(x，y，z)，＝(0,0,4)，＝，

則取n＝(1，－，0)，

則cos〈m，n〉＝＝，故二面角PANM的余弦值為.