(2012•貴州模擬)如圖,已知在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=1,AB=2,F(xiàn)是PD的中點(diǎn),E是線段AB上的點(diǎn).
(Ⅰ)當(dāng)E是AB的中點(diǎn)時,求證:AF∥平面PEC;
(Ⅱ)要使二面角P-EC-D的大小為45°,試確定E點(diǎn)的位置.
分析:法一:
(I)取PC的中點(diǎn)O,連接OF,OE.由已知得OF∥DC且OF=
1
2
DC
,由E是AB的中點(diǎn),則OF∥AE且OF=AE,故AEOF是平行四邊形,由此能夠證明AF∥平面PEC.
(II)作AM⊥CE交CE的延長線于M.連接PM,由三垂線定理得PM⊥CE,∠PMA是二面角P-EC-D的平面角.由此能夠推導(dǎo)出要使二面角P-EC-D的大小為45°,只需AE=
5
4

解法二:
(I)由已知,AB,AD,AP兩兩垂直,分別以它們所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz.利用向量法能夠證明AF∥平面PEC.
(II)求出平面DEC的一個法向量為
AP
=(0,0,1)
,設(shè)E=(t,0,0),求出平面PEC的法向量為
m
=(1,t-2,t)
,利用向量法能求出要使要使二面角P-EC-D的大小為45°,只需AE=
5
4
解答:解法一:
(I)證明:如圖,取PC的中點(diǎn)O,連接OF,OE.
由已知得OF∥DC且OF=
1
2
DC
,
又∵E是AB的中點(diǎn),則OF∥AE且OF=AE,
∴AEOF是平行四邊形,
∴AF∥OE
又∵OE?平面PEC,AF?平面PEC
∴AF∥平面PEC.
(II)解:如圖,作AM⊥CE交CE的延長線于M.
連接PM,由三垂線定理得PM⊥CE,
∴∠PMA是二面角P-EC-D的平面角.
∴∠PMA=45°,
∵PA=1,∴AM=1,
設(shè)AE=x,
由△AME≌△CBE,得x=
(2-x)2+1
,解得x=
5
4
,
故要使二面角P-EC-D的大小為45°,只需AE=
5
4

解法二:
(I)證明:由已知,AB,AD,AP兩兩垂直,
分別以它們所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz.
則A(0,0,0),F(0,
1
2
,
1
2
)
,
AF
=(0,
1
2
1
2
)
,
∵E(1,0,0),C(2,1,0),P(0,0,1),
設(shè)平面PEC的法向量為
m
=(x,y,z)

m
EC
=0
m
EP
=0
x+y=0
-x+z=0
,令x=1得
m
=(1,-1,1)

AF
m
=(0,
1
2
,
1
2
)•(1,-1,1)=0
,得
AF
m
,
又AF?平面PEC,故AF∥平面PEC.
(II)解:由已知可得平面DEC的一個法向量為
AP
=(0,0,1)
,
設(shè)E=(t,0,0),設(shè)平面PEC的法向量為
m
=(x,y,z)

m
EC
=0
m
EP
=0
(2-t)x+y=0
-tx+z=0
,令x=1得
m
=(1,t-2,t)
,
cos45o=|
AP
n
|
AP
|×|
n
|
|⇒t=
5
4

故,要使要使二面角P-EC-D的大小為45°,只需AE=
5
4
點(diǎn)評:本題考查直線與平面平行的證明,考查要使二面角的大小為45°的點(diǎn)的位置的確定.解題時要認(rèn)真審題,合理地化空間問題為平面問題,注意向量法的合理運(yùn)用.
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π
3
)

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m
x
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