Question

已知函數(shù)f（x）=

sinx

3 cosx

-x（0＜x＜

π

2

）．
（1）求f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）；
（2）求證：不等式sin³x＞x³cosx在（0，

π

2

]上恒成立；
（3）求g（x）=

1

sin2x

-

1

x2

（0＜x≤

π

2

）的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用求導(dǎo)公式和導(dǎo)數(shù)的運算法則求解該函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，注意復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)法則的運用；
（2）通過構(gòu)造函數(shù)，研究構(gòu)造的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)完成該不等式的證明問題，注意發(fā)揮導(dǎo)數(shù)的工具作用；
（3）利用（2）的結(jié)論完成該函數(shù)最值的求解，注意發(fā)揮函數(shù)單調(diào)性與最值的聯(lián)系作用．

解答：解：（1）根據(jù)求導(dǎo)的運算法則得出f′（x）=cos

2

3

x+

2

3

sin²xcos

4

3

x-1；

（2）由（1）知f′（x）=cos

2

3

x+

2

3

sin²xcos-

4

3

x-1，其中f（0）=0
令f′（x）=G（x），對G（x）求導(dǎo)數(shù)得G′（x）
G′（x）=

2

3

cos-

1

3

x（-sinx）+

1

3

[2sinxcosxcos-

4

3

x+sin²x（-

4

3

）cos

7

3

x（-sinx）]
=

4

9

sin³xcos

7

3

x＞0在x∈（0，

π

2

）上恒成立．
故G（x）即f（x）的導(dǎo)函數(shù)在（0，

π

2

）上為增函數(shù)，故f′（x）＞f′（0）=0
進而知f（x）在（0，

π

2

）上為增函數(shù)，故f（x）＞f（0）=0，當(dāng)x=

π

2

時，sin³x＞x³cosx顯然成立．
于是有sin³x-x³cosx＞0在（0，

π

2

]上恒成立．

（3）∵由（2）可知sin³x-x³cosx＞0在（0，

π

2

]上恒成立．
則g′（x）=

2(sin3x-x3cosx)

x3sin3x

＞0在（0，

π

2

]上恒成立．即g（x）在（0，

π

2

]單增
于是g（x）≤g（

π

2

）=

4

π2

．故g（x）=

1

sin2x

-

1

x2

（0＜x≤

π

2

）的最大值為

4

π2

．

點評：本題考查基本函數(shù)導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)運算，考查導(dǎo)數(shù)工具證明不等式，考查函數(shù)最值的求解，充分發(fā)揮導(dǎo)數(shù)的工具作用，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸思想．