Question

12、f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且對(duì)任意x∈R，總有f（x+2）=-f（x）成立，則f（19）=（　　）

A、0

B、1

C、18

D、19

Answer 1

分析：本題是是函數(shù)的性質(zhì)---偶函數(shù)與周期性以及恒等關(guān)系靈活運(yùn)用題，首先對(duì)f（x+2）=-f（x）進(jìn)行變形，得到f（x+4）=-f（x+2）=f（x），證出周期為4，得出f（19）=f（-1），再由函數(shù)是偶函數(shù)及恒等式f（x+2）=-f（x）分別得出f（-1）=f（1）與f（1）=-f（-1），由兩者聯(lián)立得到f（-1）=-f（-1），算出f（-1）=0，即f（19）=0

解答：解：f（x+2）=-f（x）?f（x+4）=-f（x+2）=f（x）?周期T=4?f（19）=f（-1），
又f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，得f（-1）=f（1）    ①，
且當(dāng)x=-1時(shí)，f（-1+2）=-f（-1），即f（1）=-f（-1）     ②，
由①②聯(lián)立得f（-1）=0
所以f（19）=f（-1）=0
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題是函數(shù)性質(zhì)的綜合運(yùn)用題，技巧性較高，屬于知識(shí)靈活運(yùn)用題，本題有一個(gè)易忽視的地方，那就是f（x+2）=-f（x）的理解與運(yùn)用，除了可用之得到周期為4外，還應(yīng)由它得出一個(gè)具體的等式f（1）=-f（-1），這也是解本題的一個(gè)難點(diǎn)．