Question

9．若定義在區(qū)間[-2015，2015]上的函數(shù)f（x）滿足：對于任意的x₁，x₂∈[-2015，2015]，都有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）-2015，且x＞0時，有f（x）＜2015，f（x）的最大值、最小值分別為M，N，則M+N的值為（　�。�

• A． 2014
• B． 2015
• C． 4028
• D． 4030

Answer 1

分析 根據(jù)抽象函數(shù)的表達式，利用函數(shù)單調性的性質即可得到結論．

解答 解：∵對于任意的x₁，x₂∈[-2015，2015]，都有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）-2015，
∴令x₁=x₂=0，得f（0）=2015，
再令x₁+x₂=0，將f（0）=2015代入可得f（x）+f（-x）=4030．
設x₁＜x₂，x₁，x₂∈[-2015，2015]，
則x₂-x₁＞0，f（x₂-x₁）=f（x₂）+f（-x₁）-2015，
∴f（x₂）+f（-x₁）-2015＜2015．
又∵f（-x₁）=4030-f（x₁），
∴可得f（x₂）＞f（x₁），
即函數(shù)f（x）是遞減的，
∴f（x）_max=f（-2015），f（x）_min=f（2015）．
又∵f（2015）+f（-2015）=4030，
∴M+N的值為4030．
故選：D．

點評 本題主要考查函數(shù)值的計算，利用賦值法，證明函數(shù)的單調性是解決本題的關鍵，綜合性較強，有一定的難度．