已知函數(shù)f（x）=
12
x2-alnx（a∈R）
（1）若a=2，求f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值．
（2）若函數(shù)f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)，求a的取值范圍．
分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)的運算法則可得f′（x），令f′（x）=0，再驗證是否滿足取得極值的條件即可；
（2）函數(shù)f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)?f′(x)=x-
a
x
≥0在（1，+∞）上恒成立?a≤（x2）min在（1，+∞）上恒成立，求出函數(shù)y=x2的最小值即可．
解答：解：f′(x)=x-
a
x
(x＞0)．
（1）當(dāng)a=2時，f′(x)=
x2-2
x
=
(x+
2
)(x-
2
)
x
．
令f′（x）=0，解得x=
2
．
當(dāng) x∈（0，
2
）時，f'（x）＜0，f（x）是減函數(shù)，
當(dāng)x∈（
2
，+∞）時，f'（x）＞0，f（x）是增函數(shù)．
∴當(dāng) x=
2
是 f （x） 是極小值點，f （
2
）=1-ln
2
．
（2）函數(shù)f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)?f′(x)=x-
a
x
≥0在（1，+∞）上恒成立?a≤（x2）min在（1，+∞）上恒成立．
∵函數(shù)y=x2在（1，+∞）上滿足y＞1．
∴a≤1．
點評：熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值、恒成立問題的等價轉(zhuǎn)化等是解題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
1
|x|
，g（x）=1+
x+|x|
2
，若f（x）＞g（x），則實數(shù)x的取值范圍是（　�。�
A、（-∞，-1）∪（0，1）
B、(-∞，-1)∪(0，
-1+
5
2
)
C、(-1，0)∪(
-1+
5
2
，+∞)
D、(-1，0)∪(0，
-1+
5
2
)

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
1，x∈Q
0，x∉Q
，則f[f（π）]=（　�。�

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
1-x
ax
+lnx(a＞0)
（1）若函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）當(dāng)a=1時，求f（x）在[
1
2
，2]上的最大值和最小值；
（3）當(dāng)a=1時，求證對任意大于1的正整數(shù)n，lnn＞
1
2
+
1
3
+
1
4
+…+
1
n
恒成立．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=1+cos2x-2sin2（x-
π
6
），其中x∈R，則下列結(jié)論中正確的是（　�。�

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=1+logax（a＞0，a≠1），滿足f（9）=3，則f-1（log92）的值是（　　）

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案