Question

【題目】已知函數(shù)在處的切線方程為

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若為整數(shù)，當時， 恒成立，求的最大值（其中為的導函數(shù)）．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）的單調(diào)區(qū)間遞增區(qū)間為 ，遞減區(qū)間為; （Ⅱ）整數(shù)的最大值為.

【解析】試題分析：（Ⅰ）求出原函數(shù)的導函數(shù)，由f'（ln2）=1求導a值，再由f（ln2）=﹣ln2求得b值，代入原函數(shù)的導函數(shù)，再由導函數(shù)的符號與原函數(shù)單調(diào)性間的關系確定原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）將條件轉(zhuǎn)化為，當時恒成立. 令，利用導數(shù)求最小值得答案.

試題解析：

（Ⅰ），由已知得，故，解得

又，得，解得.

，所以

當時， ；當時，

所以的單調(diào)區(qū)間遞增區(qū)間為 ，遞減區(qū)間為.

（Ⅱ）法一.由已知，及整理得

，當時恒成立

令， .

當時， ；

由（Ⅰ）知在上為增函數(shù)，

又.

所以存在 使得，此時

當時， ；當時，

所以.

故整數(shù)的最大值為.

法二.由已知，及整理得，

令 ，

得， .

當時，因為，所以， 在上為減函數(shù)，

.

， 為增函數(shù)。

為減函數(shù)。

由已知 .

令， ， 在上為增函數(shù).

又，

故整數(shù)的最大值為.