Question

若二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+1（a，b為實(shí)數(shù)且x∈R）．
（1）若函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，且滿足f（x）=2x有兩個相等實(shí)根，求a，b的值；
（2）若f（-1）=0，且函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇0，+∞），求函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)x∈[-2，2]時，g（x）=f（x）-kx是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，求出b，利用f（x）=2x有兩個相等實(shí)根，△=0，求出a，即可得到a，b的值；
（2）若f（-1）=0，推出a，b的一個關(guān)系式，利用函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇0，+∞），得到a，b，的關(guān)系式，然后求a，b，得到函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（3）通過（2）的條件，當(dāng)x∈[-2，2]時，g（x）=f（x）-kx是單調(diào)函數(shù)，利用二次函數(shù)的對稱軸，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答：解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，所以b=0，
因?yàn)閒（x）=2x有兩個相等實(shí)根，
即ax²+1=2x．有△=0，
所以a=1．
（2）∵f（-1）=0，∴a-b+1=0，
又x∈R，f（x）≥0恒成立．
∴

a＞0 △=b2-4a≤0

，
∴b²-4（b-1）≤0，
∴b=2，a=1，
∴f（x）=x²+2x+1．
（3）g（x）=f（x）-kx
=x²+2x+1-kx=x²+（2-k）x+1
=（x+

2-k

2

）²+1-

(2-x)2

4

，
當(dāng)

2-k

2

≥2或

2-k

2

≤-2時，
即k≥6或k≤-2時，g（x）是單調(diào)函數(shù)．

點(diǎn)評：本題考查一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系，函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．