Question

16．已知函數(shù)f（x）=lnx-x+$\frac{a}{x}$+1（a∈R）．
（1）若曲線(xiàn)y=f（x）在x=1處的切線(xiàn)與y軸垂直，求函數(shù)f（x）的極值；
（2）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （1）求出導(dǎo)函數(shù)，可知f'（1）=-a=0，求出a的值，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，繼而求出函數(shù)的極值；

（2）求出導(dǎo)函數(shù)，通過(guò)討論-x²+x-a=0的判別式△=1-4a，對(duì)a進(jìn)行分類(lèi)討論，得出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答 解（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），
f'（x）=$\frac{1}{x}$-1-$\frac{a}{{x}^{2}}$，f'（1）=-a=0，
∴a=0，
∴f（x）=lnx-x+1，f'（x）=$\frac{1}{x}$-1，
∴f（x）在（0，1）上遞增，在（1，+∞）上遞減，
∴極大值為f（1）=0，無(wú)極小值；
（2）由f'（x）=$\frac{-{x}^{2}+x-a}{{x}^{2}}$，方程-x²+x-a=0的判別式△=1-4a，
當(dāng)a≥$\frac{1}{4}$時(shí)，f'（x）≤0，y=f（x）定義域上為減函數(shù)；
當(dāng)0≤a＜$\frac{1}{4}$時(shí)，令f'（x）=0，得x₁=$\frac{1-\sqrt{1-4a}}{2}$＞0，x₂=$\frac{1+\sqrt{1-4a}}{2}$＞0，
由f'（x）＞0得$\frac{1-\sqrt{1-4a}}{2}$＜x＜$\frac{1+\sqrt{1-4a}}{2}$，
由f'（x）＜0得0＜x＜$\frac{1-\sqrt{1-4a}}{2}$或x＞$\frac{1+\sqrt{1-4a}}{2}$，
故f（x）在（0，$\frac{1-\sqrt{1-4a}}{2}$），（$\frac{1+\sqrt{1-4a}}{2}$，+∞）上遞減，在（$\frac{1-\sqrt{1-4a}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{1-4a}}{2}$）上遞增；
當(dāng)a＜0時(shí)，令f'（x）=0，得x₁=$\frac{1-\sqrt{1-4a}}{2}$＜0，x₂=$\frac{1+\sqrt{1-4a}}{2}$＞0，
∴由f'（x）＞0得，x∈（0，$\frac{1+\sqrt{1-4a}}{2}$），f'（x）＜0得，x∈（$\frac{1+\sqrt{1-4a}}{2}$，+∞），
故故f（x）在∈（$\frac{1+\sqrt{1-4a}}{2}$，+∞）上遞減，在（0，$\frac{1+\sqrt{1-4a}}{2}$）上遞增．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)函數(shù)的應(yīng)用和對(duì)參數(shù)的分類(lèi)討論問(wèn)題，綜合性較強(qiáng)．