Question

5．已知數(shù)列{a_n}，a₁=1，且a_n-1-a_n-1a_n-a_n=0（n≥2，n∈N^*），記b_n=a_2n-1a_2n+1，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，則滿足不等式T_n＜$\frac{8}{17}$成立的最大正整數(shù)n為7．

Answer 1

分析 先根據(jù)遞推公式求出數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，求出a_n，再求出b_n，根據(jù)裂項(xiàng)求和求出T_n，再解不等式即可．

解答 解：∵a_n-1-a_n-1a_n-a_n=0，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$=1，
∵a₁=1，
∴$\frac{1}{{a}_{1}}$=1，
∴數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+n-1=n，
即a_n=$\frac{1}{n}$，
當(dāng)n=1是成立，
∴b_n=a_2n-1a_2n+1=$\frac{1}{2n-1}$•$\frac{1}{2n+1}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{n}{2n+1}$，
∵T_n＜$\frac{8}{17}$，
∴$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）＜$\frac{8}{17}$，
∴2n+1＜17，
即n＜8，
∴滿足不等式T_n＜$\frac{8}{17}$成立的最大正整數(shù)n為7，
故答案為：7．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了等差數(shù)列的定義、數(shù)列求和問題，考查不等式與數(shù)列的綜合，考查了學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的綜合運(yùn)用，屬于中檔題．