Question

設(shè)數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，若{a_n}中存在一項可以表示為該數(shù)列的連續(xù)三項之和，則稱數(shù)列{a_n}為“可拆數(shù)列”．
（1）若{a_n}為遞增的“可拆數(shù)列”，且各項為整數(shù)，a₁=5，求公差d的取值集合；
（2）若{a_n}公差不為零且存在正整數(shù)m使a_m+1，a_2m，a_3m成等比數(shù)列，求證{a_n}為“可拆數(shù)列”；
（3）若{a_n}為“可拆數(shù)列”且a₁=2^k（k∈N⁺），S_n表示數(shù)列{a_n}的前n項和，當(dāng){a_n}公差最大時，求滿足200S_k＞a_k²的正整數(shù)k的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的應(yīng)用

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由題意可得，a_p+a_q=a_k，其中p、q、k∈N^*，利用等差數(shù)列的通項公式可得d與a₁的關(guān)系，然后根據(jù)d的取值范圍進(jìn)行求解；
（2）根據(jù)a_m+1，a_2m，a_3m成等比數(shù)列，可得d=

a1

m2-3m+1

，利用d=

a1

k-p-q+1

，可得證；
（3）由（1）知，當(dāng){a_n}公差最大時，d=a₁=2^k，求出S_n，即可求出滿足200S_k＞a_k²的正整數(shù)k的最大值．

解答： （1）解：由題意可得，a_p+a_q=a_k，其中p、q、k∈N^*，
由等差數(shù)列的通項公式可得a₁+（p-1）d+a₁+（q-1）d=a₁+（k-1），
整理得d=

a1

k-p-q+1

，
若a₁=5，則d=

5

k-p-q+1

，
∵p、q、k∈N^*，公差d∈N^*，
∴k-p-q+1∈N^*，
∴d=1，5，
故d的取值集合為 {1，5}；
（2）證明：∵a_m+1，a_2m，a_3m成等比數(shù)列，
∴a_2m²=a_m+1a_3m，
∴[a₁+（2m-1）d]²=（a₁+md）[a₁+（3m-1）d]，
∵{a_n}公差不為零，
∴d=

a1

m2-3m+1

，
由（1）知k-p-q=m²-3m時，{a_n}為“可拆數(shù)列”；
（3）解：由（1）知，當(dāng){a_n}公差最大時，d=a₁=2^k，
∴S_k=k•2^k+

k(k-1)

2

•2^k=

k(k+1)

2

•2^k，
∵200S_k＞a_k²，
∴200•

k(k+1)

2

•2^k＞k²•2^2k，
∴100（k+1）＞k•2^k，
∴滿足200S_k＞a_k²的正整數(shù)k的最大值為7．

點(diǎn)評：本題考查新定義，考查了等差數(shù)列的通項公式，運(yùn)用了解方程求正整數(shù)根的解題思想，特別注意p、q、k、d∈N^*這一條件的運(yùn)用．