Question

已知向量

a

=（

3

cosx，cosx），向量

b

=（sinx，cosx），記f（x）=

a

•

b

．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）若x∈[-

π

4

，

π

4

]，求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦函數(shù)的定義域和值域

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),平面向量及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）根據(jù)先將f（x）=

a

•

b

化簡為f（x）═sin(2x+

π

6

)+

1

2

，然后根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)求解即可；
（Ⅱ）根據(jù)三角函數(shù)單調(diào)性求解即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵向量

a

=（

3

cosx，cosx），向量

b

=（sinx，cosx），
∴f（x）=

a

•

b

=

3

cosxsinx+cos2x
=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x+

1

2

=sin(2x+

π

6

)+

1

2

．
由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ得，
-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，
x∈[-

π

4

，

π

6

]時(shí)，f（x）單調(diào)遞增，
x∈(

π

6

，

π

4

]時(shí)，f（x）單調(diào)遞減．
∴f(x)max=f(

π

6

)=

3

2

，
又∵f(-

π

4

)=-

3

2

+

1

2

＜f(

π

4

)=

3

2

+

1

2

，
∴f（x）_min=f(-

π

4

)=-

3

2

+

1

2

．
∴x∈[-

π

4

，

π

4

]，函數(shù)f（x）的值域?yàn)?span id="w4ujiz1" class="MathJye">[

1- 3

2

，

3

2

]．

點(diǎn)評：本題主要考查向量的數(shù)量積運(yùn)算，倍角公式，兩角和的正弦公式，三角函數(shù)性質(zhì)等知識的綜合應(yīng)用．屬于中檔題．