Question

7．已知函數(shù)f（x）=a（x-1）²+lnx+1，g（x）=f（x）-x，其中a∈R．
（Ⅰ）當(dāng)a=-$\frac{1}{4}$時，求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）當(dāng)a＞0時，求函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）當(dāng)x∈[1，+∞）時，若y=f（x）圖象上的點都在$\left\{\begin{array}{l}x≥1\\ y≤x\end{array}\right.$所表示的平面區(qū)域內(nèi)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極大值即可；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（Ⅲ）問題轉(zhuǎn)化為x∈[1，+∞）時，g（x）=a（x-1）²+lnx+1-x≤0恒成立，只需g（x）_max≤0即可，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=-$\frac{1}{4}$時，f（x）=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{2}$x+lnx+$\frac{3}{4}$，
f（x）的定義域為（0，+∞），f′（x）=-$\frac{（x+1）（x-2）}{2x}$；
列表討論f′（x）和f（x）的變化情況：

x	（0，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	+	0	-
f（x）	↗	極大值	↘

∴當(dāng)x=2時，f（x）取得極大值f（2）=ln2+$\frac{3}{4}$；
（Ⅱ）當(dāng)a＞0時，g（x）=ax²-（2a+1）x+lnx+a+1，
g（x）的定義域為（0，+∞），
g′（x）=$\frac{2a（x-1）（x-\frac{1}{2a}）}{x}$，
令g′（x）=0，得x=1或x=$\frac{1}{2a}$，
（1）當(dāng)0＜a＜$\frac{1}{2}$，即$\frac{1}{2a}$＞1時，
由g′（x）＜0，解得：1＜x＜$\frac{1}{2a}$，
由g′（x）＞0，解得：0＜x＜1或x＞$\frac{1}{2a}$，
∴g（x）在（1，$\frac{1}{2a}$）上單調(diào)遞減，
在（0，1），（$\frac{1}{2a}$，+∞）上單調(diào)遞增；    
（2）當(dāng)a=$\frac{1}{2}$，即$\frac{1}{2a}$=1時，在（0，+∞）上，g′（x）≥0，
∴g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；    
（3）當(dāng)a＞$\frac{1}{2}$，即0＜$\frac{1}{2a}$＜1時，
由g′（x）＜0，解得$\frac{1}{2a}$＜x＜1，由g′（x）＞0，解得0＜x＜$\frac{1}{2a}$或x＞1，
∴g（x）在（$\frac{1}{2a}$，1）上單調(diào)遞減，
在（0，$\frac{1}{2a}$），（1，+∞）上單調(diào)遞增．   
（Ⅲ）∵y=f（x）圖象上的點都在$\left\{\begin{array}{l}{x≥1}\\{y≤x}\end{array}\right.$所表示的平面區(qū)域內(nèi)，
∴當(dāng)x∈[1，+∞）時，f（x）-x≤0恒成立，
即當(dāng)x∈[1，+∞）時，g（x）=a（x-1）²+lnx+1-x≤0恒成立．
只需g（x）_max≤0；
（1）當(dāng)a＞0時，由（Ⅱ）知，
?當(dāng)0＜a＜$\frac{1}{2}$時，g（x）在（1，$\frac{1}{2a}$）上單調(diào)遞減，在（$\frac{1}{2a}$，+∞）上單調(diào)遞增，
∴g（x）在[1，+∞）上無最大值，不滿足條件；
?當(dāng)a≥$\frac{1}{2}$時，g（x） 在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴g（x）在[1，+∞）上無最大值，不滿足條件；
（2）當(dāng)a=0時，g′（x）=-$\frac{x-1}{x}$，在（1，+∞）上，g′（x）＜0，
∴g（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞減，g（x）≤g（1）=0成立；   
（3）當(dāng)a＜0時，g′（x）=$\frac{2a（x-1）（x-\frac{1}{2a}）}{x}$，在（1，+∞）上，g′（x）＜0，
∴g（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞減，g（x）≤g（1）=0成立，
綜上可知，實數(shù)a的取值范圍是a≤0．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題，是一道綜合題．