Question

4．已知拋物線C頂點在原點，關(guān)于x軸對稱，且經(jīng)過P（1，2）．
（Ⅰ）求拋物線C的標準方程及準線方程；
（Ⅱ）已知不過點P且斜率為1的直線l與拋物線C交于A，B兩點，若AB為直徑的圓經(jīng)過點P，試求直線l的方程．

Answer 1

分析 （I）由題意可設(shè)拋物線的標準方程為：y²=2px（p＞0），把點P（1，2）代入解得p．可得拋物線C的標準方程及其準線方程．
（II）時直線l的方程為：y=x+b，代入拋物線方程可得：y²-4y+4b=0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由題意可得：$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=0，可得（x₁-1）（x₂-1）+（y₁-2）（y₂-2）=x₁•x₂-（x₁+x₂）+1+y₁•y₂-2（y₁+y₂+4=0，把根與系數(shù)的關(guān)系代入即可得出．

解答 解：（I）由題意可設(shè)拋物線的標準方程為：y²=2px（p＞0），把點P（1，2）代入可得：2²=2p×1，解得p=2．
∴拋物線C的標準方程為：y²=4x，準線方程為x=-1．
（II）時直線l的方程為：y=x+b，代入拋物線方程可得：y²-4y+4b=0，△=16-16b＞0，解得b＜1．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），∴y₁+y₂=4，y₁•y₂=4b，∴x₁+x₂=y₁+y₂-2b，x₁x₂=$\frac{{y}_{1}^{2}}{4}$$•\frac{{y}_{2}^{2}}{4}$=b²．
由題意可得：$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=0，∴（x₁-1）（x₂-1）+（y₁-2）（y₂-2）=x₁•x₂-（x₁+x₂）+1+y₁•y₂-2（y₁+y₂+4=0，
∴b²-（4-2b）+1+4b-8+4=0，即b²+6b-7=0，解得b=-7，或b=1（舍去）．
∴直線l的方程為：x-y-7=0．

點評 本題考查了拋物線的標準方程及其性質(zhì)、直線與拋物線相交問題、圓的性質(zhì)、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、數(shù)量積運算性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．