Question

已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且 (N^*),其中．
(Ⅰ) 求的通項(xiàng)公式；
(Ⅱ) 設(shè) (N^*).
①證明： ；
② 求證：.

Answer 1

(Ⅰ) .      (Ⅱ)見解析

本試題主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解和運(yùn)用。運(yùn)用關(guān)系式，表示通項(xiàng)公式，然后得到第一問，第二問中利用放縮法得到，②由于，
所以利用放縮法，從此得到結(jié)論。
解：(Ⅰ)當(dāng)時(shí)，由得. ……2分
若存在由得，
從而有，與矛盾，所以.
從而由得得. ……6分
(Ⅱ)①證明：
證法一：∵∴
∴ 
∴.…………10分
證法二：，下同證法一.          ……10分
證法三：（利用對(duì)偶式）設(shè)，，
則.又，也即，所以，也即，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823213552899481.png" style="vertical-align:middle;" />，所以.即
                   ………10分
證法四：（數(shù)學(xué)歸納法）①當(dāng)時(shí), ,命題成立;
②假設(shè)時(shí),命題成立,即,
則當(dāng)時(shí),

   即
即
故當(dāng)時(shí)，命題成立.
綜上可知，對(duì)一切非零自然數(shù)，不等式②成立.          ………………10分
②由于，
所以，
從而.
也即