Question

已知函數(shù)f（x）滿足f（log_ax）=

a

a2-1

(x-x-1)，其中a＞0，且a≠1．
（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式，并判斷其奇偶性；
（2）當x∈（-∞，2）時，f（x）-4的值恒為負數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題,函數(shù)奇偶性的判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）換元法：令t=log_ax，則x=a^t，代入函數(shù)式可得解析式，利用奇偶函數(shù)的定義可判斷；
（2）分a＞1和0＜a＜1兩種情況對函數(shù)的單調(diào)性進行討論，
當x∈（-∞，2）時，f（x）-4的值恒為負數(shù)，等價于f（x）-4＜0恒成立，也即f（x）＜4恒成立，利用函數(shù)的單調(diào)性可作出判斷；

解答： 解：（1）令log_a^x=t則x=a^t，
∴f（t）=

a

a2-1

（a^t-a^-t），
∴f（x）=

a

a2-1

（a^x-a^-x）；
∵f（-x）=

a

a2-1

（a^-x-a^x）=-f（x），
∴f（x）為奇函數(shù)；
（2）當a＞1時，a^-x遞減，-a^-x遞增，a^x遞增，所以a^x-a^-x遞增，
又

a

a2-1

＞0，所以f（x）在R上遞增；
當0＜a＜1時，a^-x遞增，-a^-x遞減，且a^x遞減，所以a^x-a^-x遞減，
又

a

a2-1

＜0，故此時f（x）遞增；
綜上，當a＞0且a≠1時，f（x）在R上遞增．
當x∈（-∞，2）時，f（x）-4的值恒為負數(shù)，等價于f（x）-4＜0恒成立，也即f（x）＜4恒成立，
因為y=f（x）在（-∞，2）上單調(diào)遞增，f（x）＜f（2）=

a

a2-1

(a2-a-2)=

a2+1

a

，
所以

a2+1

a

≤4，
∴2-

3

≤a≤2+

3

又a＞0，a≠1，故a∈[2-

3

，1)∪(1，2+

3

]

點評：本題主要考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)在某區(qū)間上的最值，屬于中檔題．