Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若，求的取值范圍；

（2）若存在唯一的極小值點，求的取值范圍，并證明.

Answer 1

【答案】（1）（2）；證明見解析；

【解析】

（1）可利用分離參數(shù)法，將問題轉(zhuǎn)化為恒成立，然后研究的單調(diào)性，求出最大值；

（2）通過研究在內(nèi)的變號零點，單調(diào)性情況確定唯一極小值點；若不能直接確定的零點范圍及單調(diào)性，可以通過研究的零點、符號來確定的單調(diào)性，和特殊點（主要是能確定符號的點）處的函數(shù)值符號，從而確定的極值點的存在性和唯一性．

(1)的定義域為.

由，得在恒成立，

轉(zhuǎn)化為

令，則，

∴在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，

∴的最大值為，∴.

∴的取值范圍是.

(2)設(shè)，則，，.

①當(dāng)時，恒成立，在單調(diào)遞增，

又，

所以存在唯一零點.

當(dāng)時，，

當(dāng)時，.

所以存在唯一的極小值點.

②當(dāng)時，，在單調(diào)遞增，，

所以在有唯一零點.

當(dāng)時，，

當(dāng)時，.

所以存在唯一的極小值點.

③當(dāng)時，令，得；

令，得，

∴在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，

所以的最大值為

④當(dāng)時，，，，

(或用)

由函數(shù)零點存在定理知：

在區(qū)間，分別有一個零點，

當(dāng)時，；

當(dāng)時，；

所以存在唯一的極小值點，極大值點.

⑤當(dāng)時，，

所以在單調(diào)遞減，無極值點.

由①②④可知，a的取值范圍為，

當(dāng)時，；

所以在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增.

所以.

由，得.

所以

，

因為，，

所以，

所以，即；

所以.