Question

已知在△ABC中，∠ABC=90°，SA⊥平面ABC，過點A向SC和SB引垂線，垂足分別是P、Q，求證：
（1）AQ⊥平面SBC；
（2）PQ⊥SC．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定

專題：證明題,空間位置關系與距離

分析：（1）先證明BC⊥平面SAB，然后，從而得到AQ⊥BC，容易證明AQ⊥平面SBC；
（2）先證明SC⊥平面AMN，然后，很容易得到MN⊥SC．

解答：
證明：（1）∵SA⊥面ABC，
BC⊆平面ABC，
∴SA⊥BC，
又∵AB⊥BC，SA∩AB=A，
∴BC⊥平面SAB，
∵AQ⊆平面SAB，
∴AQ⊥BC；
由上述證明知AQ⊥BC，
∵AQ⊥SB，且SB∩BC=B，
∴AQ⊥平面SBC，
（2）∵SC⊆平面SBC，
∴SC⊥AQ，又AP⊥SC，且AP∩AQ=A，
∴SC⊥平面APQ，
∴PQ⊥SC．

點評：本題重點考查了空間中直線與平面垂直，直線與直線垂直等位置關系，解題關鍵是線面垂直和線線垂直的相互轉化，屬于中檔題．